Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）若M是圓x²+y²=b²在第一象限內(nèi)圓弧上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓x²+y²=b²的切線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，問|F₁P|+|F₁Q|-|PQ|是否為定值？如果不是，說明理由；如果是，求出定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得c=1，離心率e=

1

2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），橢圓方程是

x2

4

+

y2

3

=1，|x|≤2，由此求出|PF₁|=2+

1

2

x1，|QF₁|=2+

1

2

x2，連接OM，OP，由直線和圓相切求出|PQ|=

1

2

x1+

1

2

x2，由此能證明|F₁P|+|F₁Q|-|PQ|=4為定值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），∴c=1，
∵離心率e=

1

2

，∴a=2，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵橢圓方程是

x2

4

+

y2

3

=1，∴|x|≤2，
|PF₁|=

(x1+1)2+y12

=

(x1+1)2+3(1- x12 4 )

=

1 4 (x1+4)2

，
∵|x₁|≤2，∴|PF₁|=2+

1

2

x1，
同理，得|QF₁|=2+

1

2

x2，
連接OM，OP，由直線和圓相切知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²
=x12+y12-3=

1

4

x12，
∴|PM|=

1

2

x1，
同理，得|QM|=

1

2

x2，
∴|PQ|=

1

2

x1+

1

2

x2，
∴|F₁P|+|F₁Q|-|PQ|
=（2+

1

2

x1）+（2+

1

2

x2）-（

1

2

x1+

1

2

x2）=4．
∴|F₁P|+|F₁Q|-|PQ|=4為定值．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查|F₁P|+|F₁Q|-|PQ|是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．