Question

已知函數(shù)f（x）=x²-cosx，對(duì)于[-

π

2

，

π

2

]上的任意x₁，x₂，有如下條件：
①x₁＞x₂；②x₁²＞x₂²；③|x₁|＞x₂．
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：先研究函數(shù)的性質(zhì)，觀察知函數(shù)是個(gè)偶函數(shù)，由于f′（x）=2x+sinx，在[0，

π

2

]上f′（x）＞0，可推斷出函數(shù)在y軸兩邊是左減右增，此類函數(shù)的特點(diǎn)是自變量離原點(diǎn)的位置越近，則函數(shù)值越小，欲使f（x₁）＞f（x₂）恒成立，只需x₁，到原點(diǎn)的距離比x₂，到原點(diǎn)的距離大即可，由此可得出|x₁|＞|x₂|，在所給三個(gè)條件中找符合條件的即可．

解答：解：函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，f′（x）=2x+sinx，
當(dāng)0＜x≤

π

2

時(shí)，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上為單調(diào)增函數(shù)，
由偶函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在[-

π

2

，0]上為減函數(shù)．
當(dāng)x₁²＞x₂²時(shí)，得|x₁|＞|x₂|≥0，
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），由函數(shù)f（x）在上[-

π

2

，

π

2

]為偶函數(shù)得f（x₁）＞f（x₂），故②成立．
∵

π

3

＞-

π

3

，而f（

π

3

）=f（

π

3

），
∴①不成立，同理可知③不成立．故答案是②．
故應(yīng)填②

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)奇偶性與單調(diào)性，屬于利用性質(zhì)推導(dǎo)出自變量的大小的問題，本題的解題方法新穎，判斷靈活，方法巧妙．