四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓
x2
16
+
y2
25
=1，其中A的橫坐標(biāo)為4，C的縱坐標(biāo)為5，求四邊形ABCD面積的最大值．
考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：數(shù)形結(jié)合法,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形得出橢圓的內(nèi)接四邊形ABCD面積取最大值時(shí)，對角線BD過AC的中點(diǎn)M和原點(diǎn)O；
求出B、D點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)B、D到AC的距離，即可求出四邊形ABCD的最大面積．
解答： 解：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示；
∵橢圓
x2
16
+
y2
25
=1，
∴A（4，0），C（0，5）；
由圖形知，橢圓的內(nèi)接四邊形ABCD面積取最大值時(shí)，對角線BD過AC的中點(diǎn)M和原點(diǎn)O；
∵直線AC的方程是
x
4
+
y
5
=1，
點(diǎn)M（2，
5
2
），
∴直線BD的方程是y=
5
4
x；
∴
y=
5
4
x
25x2+16y2=400
，
解得
x=2
2
y=
5
2
2
，
x=-2
2
y=-
5
2
2
；
∴點(diǎn)B（2
2
，
5
2
2
）到直線AC的距離是d1=
|
1
4
×2
2
+
1
5
×
5
2
2
-1|
(
1
4
)2+(
1
5
)2
=
20(
2
-1)
41
；
同理，點(diǎn)D（-2
2
，
5
2
2
）到直線AC的距離是d2=
20(
2
+1)
41
；
∴四邊形ABCD的最大面積為
S=S△ABC+S△ADC=
1
2
×|AC|d1+
1
2
×|AC|d2=
1
2
×
42+52
×（
20(
2
-1)
41
+
20(
2
+1)
41
）=20
2
．
點(diǎn)評：本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)利用數(shù)形結(jié)合法，分析解題思路，從而寫出解題過程，是綜合性題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sinα+cosα=-
1
5
（0＜α＜π）
（Ⅰ）求tanα；
（Ⅱ）求sin2α+sinαcosα-2cos2α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

復(fù)數(shù)z=（3m-2）+（m-1）i，m∈R．
（1）m為何值時(shí)，z是純虛數(shù)？
（2）m取什么值時(shí)，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
16
=1．
（Ⅰ）求橢圓C的長軸長及離心率；
（Ⅱ）已知直線l過（1，0），與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為橢圓C的左頂點(diǎn)．是否存在直線l使得∠AMB=60°？如果有，求出直線l的方程；如果沒有，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（文科做）已知函數(shù)f（x）=lnx+a，g（x）=ax，a∈R．
（1）若a=1，設(shè)函數(shù)F(x)=
f(x)
g(x)
，求F（x）的極大值；
（2）設(shè)函數(shù)G（x）=f（x）-g（x），討論G（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率e=
2
2
，A，B是橢圓上的兩動點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ
OB
，（其中實(shí)數(shù)λ為常數(shù)）．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)λ=1，且直線AB過F點(diǎn)且垂直于x軸時(shí)，求過A，B，P三點(diǎn)的外接圓方程；
（3）若直線OA與OB的斜率乘積kOA•kOB=-
1
2
，問是否存在常數(shù)λ，使得動點(diǎn)P滿足PG+PQ=4，其中G（-
2
，0），Q（
2
，0），若存在求出λ的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=（1+x）n=C
 
0
n
+C
 
1
n
x+C
 
2
n
x2+…+C
 
n-1
n
xn-1+C
 
n
n
xn（n是正整數(shù)），利用賦值法解決下列問題：
（1）求S1=C
 
0
n
+C
 
1
n
+C
 
2
n
+…+C
 
n
n
；
（2）n為偶數(shù)時(shí)，求S2=C
 
1
n
+C
 
3
n
+C
 
5
n
+…+C
 
n-1
n
；
（3）n是3的倍數(shù)時(shí)，求S3=C
 
2
n
+C
 
5
n
+C
 
8
n
+…+C
 
n-1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=10，an+1=9Sn+10，設(shè)Tn是數(shù)列{
3
(lgan)(lgan+1)
}的前n項(xiàng)和，求使Tn＞
1
4
（m2-5m）對所有的n∈N成立的最大正整數(shù)m的值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=-n2，數(shù)列{bn}滿足：b1=2，bn+1=3bn-t（n-1），已知an+1+bn+1=3（an+bn）對任意n∈N*都成立
（1）求t的值；
（2）設(shè)數(shù)列{an2+anbn}的前n項(xiàng)的和為Tn，問是否存在互不相等的正整數(shù)m，k，r，使得m，k，r成等差數(shù)列，且Tm+1，Tk+1，Tr+1成等比數(shù)列？若存在，求出m，k，r；若不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊答案