Question

【題目】已知雙曲線上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）與雙曲線兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為.

（I）求雙曲線漸近線的方程；

（Ⅱ）過橢圓上任意一點(diǎn)P（P不在C的漸近線上）分別作平行于雙曲線兩條漸近線的直線，交兩漸近線于兩點(diǎn)，且，是否存在使得該橢圓的離心率為，若存在，求出橢圓方程：若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）存在，.

【解析】

（I）設(shè)，由可得，進(jìn)一步得到漸近線方程；

（Ⅱ）設(shè)，則PM方程為，聯(lián)立漸近線方程得到，進(jìn)一步得到，同理得到，再利用計(jì)算即可得到答案.

（1）設(shè)，

由，知，

所以，，得，即，

即雙曲線漸近線方程為；

（Ⅱ）由，

設(shè)，則PM方程為，

由，得；

由，得

又，所以，所以，，

同理可得，，

由是平行四邊形，知，

所以，，

即

所以，存在符合題意的橢圓，其方程為.

【點(diǎn)晴】

本題考查橢圓與雙曲線的綜合運(yùn)用，涉及到求雙曲線漸近線方程以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.