Question

已知P點坐標為（2，3），在y軸及直線y=

1

2

x上各取一點R、Q，為使△PQR的周長最小，則Q點的坐標為

(

13

30

，

13

15

)

，R點的坐標為

(0，

13

7

)

．

Answer 1

分析：設點P（2，3）關于直線y=

1

2

x的對稱點為P′（m，n），則

3+n 2 = 1 2 • 2+m 2 1 2 × n-3 m-2 =-1

，解得即可得P′．易求P（2，3）關于y軸的對稱點P^′′（-2，3），可得kP′P″．直線P′P^″的方程為y-3=-

4

7

(x+2)，令x=0，解得y，得R．聯(lián)立直線y=

1

2

x與直線P′P^″的方程得Q．

解答：解：如圖所示．
設點P（2，3）關于直線y=

1

2

x的對稱點為P′（m，n），則

3+n 2 = 1 2 • 2+m 2 1 2 × n-3 m-2 =-1

，解得

m= 18 5 n=- 1 5

．
∴P′(

18

5

，-

1

5

)．
求P（2，3）關于y軸的對稱點P^″（a，b），則

a+2 2 =0 b=3

，解得a=-2，b=3，∴P^′′（-2，3），
∴kP′P″=

- 1 5 -3

18 5 +2

=-

4

7

．
∴直線P′P^″的方程為y-3=-

4

7

(x+2)，化為4x+7y-13=0．
令x=0，解得y=

13

7

，得R(0，

13

7

)．
聯(lián)立

4x+7y-13=0 y= 1 2 x

，解得

x= 13 30 y= 13 15

．∴Q(

13

30

，

13

15

)．
下面證明所求的R(0，

13

7

)，Q(

13

30

，

13

15

)滿足題意．
如圖所示，△PQR的周長=|P′P^″|．
當R點是y軸上的另一點R′或點Q是另一點Q′時，則△PQ′R′的周長=|P^″R′|+|R′Q′|+|P′Q′|＞|P′P^″|，
因此△PQR的周長=|P′P^″|是最小值．
故答案為Q(

13

30

，

13

15

)，R(0，

13

7

)．

點評：本題考查了點關于直線的對稱點的求法、三角形周長最小值問題等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．