Question

已知函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=

1

2

；
（1）求f（

1

2

），f（

1

n

）+f（

n-1

n

）（n∈N^*）的值；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），那么數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列嗎？試證之；
（3）在（2）的條件下，設(shè)b_n=4a_n-1，c_n=b_nq^n-1（q≠0，n∈N^*）求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,等差關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令x=

1

2

，則f（

1

2

）=

1

4

，令x=

1

n

，則f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=

1

2

；
（2）倒序相加求和，即可求出數(shù)列{a_n}的通項；
（3）分類討論，利用錯位相減法，即可求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）令x=

1

2

，則f（

1

2

）=

1

4

，
令x=

1

n

，則f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=

1

2

；
（2）∵a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），
∴a_n=f（1）+f（

n-1

n

）+…+f（

1

n

）+f（0），
∴2a_n=

n+1

2

，
∴a_n=

n+1

4

，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（3）b_n=4a_n-1=n，∴c_n=nq^n-1．
q=1時，T_n=

n(1+n)

2

；
∴T_n=1+2q+3q²++…+nq^n-1，
∴qT_n=q+2q²+3q³++…+nqⁿ，
∴（1-q）T_n=1+q+q²++…+q^n-1-nqⁿ，
∴T_n=

1-qn

(1-q)2

-

nqn

1-q

．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查倒序相加求和、考查錯位相減法，屬于中檔題．