Question

16．已知圓x²+（y-2）²=1被雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線截得的弦長為$\sqrt{3}$，則該雙曲線離心率的值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)雙曲線方程求得其中一條漸近線方程，根據(jù)題意可知圓心到漸近線的距離為$\frac{1}{2}$，進(jìn)而表示出圓心到漸近線的距離，求得a，b的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：依題意可知雙曲線的一漸近線方程為bx-ay=0，
∵弦長為$\sqrt{3}$，圓的半徑為1，
由弦長的一半、半徑和圓心到直線的距離構(gòu)成直角三角形，
則圓心到漸近線的距離d=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{|b|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=3b²，
∴c²=b²+a²=4b²=$\frac{4}{3}$a²，
∴雙曲線的離心率為e²=$\frac{4}{3}$，
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用圓中弦長的一半、半徑和圓心到直線的距離構(gòu)成直角三角形，求得圓心到漸近線的距離．