Question

【題目】數(shù)列滿足，．

（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知，得，

即，即，即．（2分）

所以，，…，，

以上各式相加得．

又，所以．（5分）

（2）由（1）知，所以，

．（7分）

所以

．（10分）

【易錯(cuò)提醒】（1）對(duì)遞推式變形時(shí)，應(yīng)明確方向，準(zhǔn)確把握數(shù)列的遞推關(guān)系，通過(guò)變形將其轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的等差、等比數(shù)列問(wèn)題求解是解決此類問(wèn)題的基本思路；（2）構(gòu)造新數(shù)列時(shí)，一定要注意原數(shù)列的項(xiàng)與新數(shù)列的項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)，如本題中第（1）問(wèn)，，則的表達(dá)式既不是，也不是，而是，即把式子中所有的都換成．

【解題技巧】求解數(shù)列遞推關(guān)系式問(wèn)題的基本原則就是對(duì)數(shù)列的遞推式進(jìn)行變換，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為等差、等比數(shù)列進(jìn)行處理．轉(zhuǎn)化的常用方法有：（1）待定系數(shù)法，如，可以通過(guò)待定系數(shù)將其轉(zhuǎn)化為形如的等比數(shù)列；（2）取倒數(shù)法，如本題；（3）觀察變換法，如，可以在兩端同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為形如的等差數(shù)列；（4）取對(duì)數(shù)法等．求解數(shù)列遞推關(guān)系式問(wèn)題要注意選取合適的變換遞推式的方法，通過(guò)變換進(jìn)行解答，在變換時(shí)要小心謹(jǐn)慎．