Question

1．已知矩陣M=$（\begin{array}{l}{a}&{1}\\&{1}\end{array}）$的一個特征值l所對應的特征向量為$（\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}）$．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣；
（Ⅱ）求曲線C：x²+2xy+2y²=1在矩陣M對應變換作用下得到的新的曲線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$=1•$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$可得a=1，b-0，進而可得結論；
（Ⅱ）通過設曲線C上任意一點（x，y）在矩陣M對應變換作用下得到（x′，y′），利用$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，用x′、y′表示出x、y，并代入曲線C方程即得結論．

解答 解：（Ⅰ）依題意，$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$=1•$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，
∴$[\begin{array}{l}{a}\\\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，解得a=1，b-0，
∴M=$[\begin{array}{l}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{array}]$，
∵detM=1≠0，所以M^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{0}&{1}\end{array}]$；
（Ⅱ）曲線C：x²+2xy+2y²=1上任意一點（x，y）
在矩陣M對應變換作用下得到（x′，y′），
則$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+y}\\{y′=y}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=x′-y′}\\{y=y′}\end{array}\right.$，
代入方程x²+2xy+2y²=1，得（x′）²+（y′）²=1，
∴曲線C在矩陣M對應變換作用下得到的新的曲線方程為：x²+y²=1．

點評 本題考查矩陣與變換，注意解題方法的積累，屬于中檔題．