Question

已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足|PM|-|PN|=2

2

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過N的直線交C于A、B兩點，若|AB|=

10

3

2

，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：圓錐曲線的軌跡問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由于點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足|PM|-|PN|=2

2

．可得動點P的軌跡C是雙曲線的右支，求出即可．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直接求解即可判斷出．
當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-2）與雙曲線的方程聯(lián)立可得化為（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出．

解答： 解：（1）∵點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足|PM|-|PN|=2

2

．
∴動點P的軌跡C是雙曲線的右支，
其方程為

x2

2

-

y2

2

=1（x＞0）．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，聯(lián)立

x=2 x2-y2=2

解得x=2，y=±

2

，取A(2，

2

)，B(2，-

2

)．
則|AB|=2

2

，不符合題意，舍去．
當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-2）．
聯(lián)立

y=k(x-2) x2-y2=2

，
化為（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，
△＞0．
∴x1+x2=

-4k2

1-4k2

，x₁x₂=

-4k2-2

1-k2

．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 16k4 (1-k2)2 + 4(4k2+2) 1-k2 ]

=

10

3

2

，
化為 3（1+k²）=±5（1-k²），
化為k2=

1

4

，k²=4．
解得k=±

1

2

，k=±2．滿足△＞0．
∴直線AB的方程為y=±

1

2

（x-2）或y=±2（x-2）．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．