Question

集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．
（1）若B⊆A，求實數m的取值范圍；
（2）當A中的元素x∈Z時，求A的非空真子集的個數；
（3）當x∈R時，若A∩B=∅，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若B⊆A，求實數m的取值范圍進要注意B是空集的情況，故此題分為兩類求，是空集時，不是空集時，比較兩個集合的端點即可．
（2）需要知道集合中元素的具體個數，然后套用子集個數公式：2ⁿ．
（3）根據題意，需要進行分類討論，當B=φ和B≠φ時，然后列出關系式即可求出結果．

解答：解：（1））①當B為空集時，得m+1＞2m-1，則m＜2
②當B不為空集時，m+1≤2m-1，得m≥2
由B⊆A可得m+1≥-2且2m-1≤5
得2≤m≤3
故實數m的取值范圍為m≤3
（2）當x∈Z時，A={-2，-1，0，1，2，3，4，5}
求A的非空真子集的個數，即不包括空集和集合本身，
所以A的非空真子集個數為2⁸-2=254
（3）因為x∈R，且A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，又沒有元素x使x∈A與x∈B同時成立，
則①若B=∅，即m+1＞2m-1，得m＜2時滿足條件；
②若B≠∅，則要滿足的條件是
m+1≤2m-1且m+1＞5
或m+1≤2m-1且2m-1＜-2，
解得m＞4．
綜上，有m＜2或m＞4．

點評：若B⊆A，需要注意集合B能否是空集，必要時要進行討論；當一個集合里元素個數為n個時，其子集個數為：2ⁿ，真子集個數為：2ⁿ-1．