Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+

2

（A＞0，ω＞0）圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（

π

8

，2

2

），則此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)（

3

8

π，0），若φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）試求這條曲線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求函數(shù)的對(duì)稱中心；
（3）用”五點(diǎn)法”畫出（1）中函數(shù)在[0，π]上的圖象；
（4）試說明y=sin2x的圖象是由y=f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的？

Answer 1

（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+

2

最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（

π

8

，2

2

），
則此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與平衡軸交于點(diǎn)（

3

8

π，0），
∴A=

2

，

T

4

=

π

4

，
∴T=π，ω=2
∴f（x）=

2

sin（2x+φ）+

2

∵過（

π

8

，2

2

）點(diǎn)，
∴2

2

=

2

sin（2x+φ）+

2

∵φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
∴φ=

π

4

，
∴函數(shù)的解析式是f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+

2

（2）∵正弦曲線的對(duì)稱中心是（kπ，0）
∴2x+

π

4

=kπ，k∈z
∴x=

kπ

2

-

π

8

，
∴函數(shù)的對(duì)稱中心是（

kπ

2

-

π

8

，

2

）
（3）

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
f（x）	1+ 2	2 2	2	0	2	1+ 2

圖形如右圖

（4）y=f（x）先向下平移

2

個(gè)單位得到
f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）再橫標(biāo)不變縱標(biāo)變化為原來(lái)的

2

2

得到
f（x）=sin（2x+

π

4

）再向右平移

π

8

個(gè)單位得到y(tǒng)=sin2x