Question

已知函數(shù)f(x)=

x+ 1 x ，x∈[-2，-1) -2，x∈[-1， 1 2 ) x- 1 x ，x∈[ 1 2 ，2]

（1）求f（x）的值域；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=ax-2，x∈[-2，2]，對于任意x₁∈[-2，2]，總存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對于分段函數(shù)的值域問題要分段求解，然后再綜合即可得出f（x）的值域；
（2）根據(jù)對于任意x₁∈[-2，2]，總存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函數(shù)f（x）在[-2，2]，上值域是g（x）在[-2，2]，上值域的子集，下面利用求函數(shù)值域的方法求函數(shù)f（x）、g（x）在[-2，2]，上值域，并列出不等式，解此不等式組即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當x∈[-2，2]時，f(x)=x+

1

x

在[-2，-1)上是增函數(shù)，此時f(x)∈[-

5

2

，-2)
當x∈[-1，

1

2

)時，f(x)=-2
當x∈[

1

2

，2]時，f(x)=x-

1

x

在[

1

2

，2]上是增函數(shù)，此時f(x)∈[-

3

2

，

3

2

]∴f(x)的值域為[-

5

2

，-2]∪[-

3

2

，

3

2

]
（2）①若a=0，g（x）=-2，對于任意x1∈[-2，2]，f(x1)∈[-

5

2

，-2]∪[-

3

2

，

3

2

]，不存在x0∈[-2，2]，使g(x0)=f(x1)
②當a＞0時，g（x）=ax-2在[-2，2]是增函數(shù)，g（x）∈[-2a-2，2a-2]
任給x1∈[-2，2]，f(x1)∈[-

5

2

，-2]∪[-

3

2

，

3

2

]
若存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立
則[-

5

2

，-2]∪[-

3

2

，

3

2

]⊆[-2a-2，2a-2]∴

-2a-2≤- 5 2 2a-2≥ 3 2

，∴a≥

7

4

③a＜0，g（x）=ax-2在[-2，2]是減函數(shù)，g（x）∈[2a-2，-2a-2]∴

2a-2≤- 5 2 -2a-2≥ 3 2

，∴a≤-

7

4

綜上，實數(shù)a∈(-∞，-

7

4

]∪[

7

4

，+∞)

點評：此題是個中檔題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，難點是題意的理解與轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．同時也考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，