(0,
)
分析:由函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(-x),得到函數(shù)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱,從而由x∈[1,+∞)時(shí),f(x)=x,得出x∈(-∞,1)時(shí),f(x)的解析式,確定出f(x)在R上的分段函數(shù)解析式,然后由2x小于0,大于0小于1,大于1小于2,大于2,四種情況分類討論分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式中求出f(2x)<f(x)的解集,即可得到滿足題意的x的范圍.
解答:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+2)=f(-x),
得到函數(shù)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱,
又當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f(x)=x,得到x∈(-∞,1)時(shí),f(x)=-x+2,
∴f(x)=
,
①當(dāng)2x<0,即x<0時(shí),f(2x)=-2x+2,f(x)=-x+2,
由-2x+2<-x+2,解得x>0,矛盾;
②當(dāng)0<2x≤1,即0<x≤
時(shí),f(2x)=-2x+2,f(x)=-x+2,
f(2x)<f(x)恒成立;
③當(dāng)2>2x>1,即1>x>
時(shí),f(2x)=2x,f(x)=-x+2,
即要2x<-x+2,解答x<
;
④當(dāng)2x>2,即x>1時(shí),f(2x)=2x,f(x)=x,
即要2x<x,解得x<0,矛盾,
綜上,滿足f(2x)<f(x)的x的取值范圍(0,
).
故答案為:(0,
)
點(diǎn)評(píng):此題考查了其他不等式的解法,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,由f(x+2)=f(-x)得到函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱,根據(jù)x大于等于1時(shí)的解析式確定出x小于1時(shí)的解析式,從而確定出f(x)在R上的分段函數(shù)解析式是本題的突破點(diǎn).