Question

已知向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

-3．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若f（A）=1，a=

3

，且b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（II）利用（I）的結(jié)論可得A，再利用余弦定理、三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），
∴函數(shù)f（x）=

m

•

n

-3=

3

sin2x+2+2cos2x-3=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得到：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（A）=1得，2sin(2A+

π

6

)=1，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

∵a=

3

且b+c=3，∴

1

2

=

9-2bc-3

2bc

，解得bc=2．
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

點評：本題考查了數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、余弦定理、三角形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了計算能力，屬于中檔題．