Question

已知點(diǎn)（4，-4）在拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）上，過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為k（k＞0）的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，|AB|=8，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)G．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為H，求△FGH的外接圓方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)（4，-4）在拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）上，代入計(jì)算，可得拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k（x-1），代入拋物線(xiàn)方程，確定線(xiàn)段AB的中點(diǎn)H的坐標(biāo)，△FGH的外接圓即為以FG為直徑的圓，即可求△FGH的外接圓方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得，16=2p×4∴p=2
所以?huà)佄锞�(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．
（Ⅱ）焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k（x-1），代入拋物線(xiàn)方程，可得k²x-（2k+²4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2k2+4

k2

．
∵|AB|=8，∴x₁+x₂+2=8，
∴

2k2+4

k2

+2=8，
∵k＞0，∴k=1．
∵線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為H，
∴H（3，2），
∴直線(xiàn)HG的方程為y-2=-（x-3），令y=0得G（5，0），
△FGH的外接圓即為以FG為直徑的圓，方程為（x-3）²+y²=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)方程，考查圓的方程，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．