Question

19．定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，對任意實數(shù)x，若存在實常數(shù)t使得f（t+x）=-tf（x）恒成立，則稱f（x）是一個“t型函數(shù)”．在下列關(guān)于“t型函數(shù)”的四個命題中，其中真命題是（　�。�

• A． f（x）=0是常值函數(shù)中唯一一個“t型函數(shù)”
• B． f（x）=x²是一個“t型函數(shù)”
• C． f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|是一個“t型函數(shù)”
• D． “$\frac{1}{2}$型函數(shù)”至少有一個零點

Answer 1

分析 舉例說明A不正確；把f（x）=x²代入定義求得λ的矛盾的值說明B錯誤；把f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|代入定義求得λ的矛盾的值說明C錯誤；由函數(shù)零點存在性定理結(jié)合新定義說明D正確．

解答 解：由題意得，A不正確，如f（x）=c≠0，取t=-1，則f（x-1）-f（x）=c-c=0，
即f（x）=c≠0是一個“t函數(shù)”；
若f（x）=x²是一個“關(guān)于t函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，求得λ=0且λ=-1，矛盾．B不正確；
若f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|是一個“關(guān)于t函數(shù)”，則|x+λ-$\frac{1}{2}$|+λ|x-$\frac{1}{2}$|=0，求得λ=0且λ=-$\frac{1}{2}$，矛盾，C不正確；
D正確，若f（x）是“是關(guān)于$\frac{1}{2}$函數(shù)”，則f（x+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（x）=0，取x=0，則f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（0）=0，
若f（0）、f （$\frac{1}{2}$）任意一個為0，則函數(shù)f（x）有零點；若f（0）、f （$\frac{1}{2}$）均不為0，
則f（0）、f （$\frac{1}{2}$）異號，由零點存在性定理知，在（0，$\frac{1}{2}$）區(qū)間內(nèi)存在零點；
故選：D．

點評 本題是新定義題，考查了函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．