Question

已知動圓C經(jīng)過點A（2，-3）和B（-2，-5）．
（Ⅰ）若圓C的圓心在直線3x+y+5=0上，求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓心C在x軸上，且使得三角形ABC面積為5，求圓C的方程．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓

分析：（I）設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，根據(jù)題意建立關(guān)于a、b、r的方程組，解之即可得出圓C的方程；
（II）設(shè)圓心C（a，0），利用點到直線的距離公式與三角形的面積公式，結(jié)合兩點間的距離公式加以計算，可得a=13或a=3，從而得到所求圓C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)所求圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
根據(jù)已知條件得

(2-a)2+(-3-b)2=r2 (-2-a)2+(-5-b)2=r2 3a+b+5=0

⇒

a=-1 b=-2 r2=10

．
∴圓C的方程為（x+1）²+（y+2）²=10；
（Ⅱ）∵圓心C在x軸上，∴設(shè)圓心C（a，0），
∵|AB|=

(-2-2)2+(-5+3)2

=2

5

，
且直線AB的方程為

y+3

-5+3

=

x+2

2+2

，即x-2y-8=0
∴點C到直線AB的距離d=

|a-8|

5

，
可得S△ABC=

1

2

|AB|d=

1

2

×2

5

×

|a-8|

5

=5，解得a=13或a=3，
∴圓C的方程為（x-13）²+y²=130或（x-3）²+y²=10．

點評：本題給出圓C經(jīng)過兩個定點且圓心在定直線上，求圓的方程并依此解決三角形的面積問題．著重考查了直線的基本量與基本形式、圓的標準方程、點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．