Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，A1A=2

2

，設(shè)E，F(xiàn)分別是BD，C₁C的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁C⊥平面BEF；
（2）求二面角A₁-BF-E的大小．

Answer 1

分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出

A1C

，

BE

，

BF

，根據(jù)

A1C

•

BE

=0，

A1C

•

BF

=0可得A₁C⊥BE，A₁C⊥BF，結(jié)合線面垂直的判定定理可得A₁C⊥平面BEF；
（2）由（1）可得

A1C

=（2，2，-2

2

）是平面BEF的一個(gè)法向量，出平面A₁BF的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A₁-BF-E的大�。�

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，A1A=2

2

，設(shè)E，F(xiàn)分別是BD，C₁C的中點(diǎn)
∴A（0，0，0），A₁（0，0，2

2

），B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，1，0），F(xiàn)（2，2，

2

），
∴

A1C

=（2，2，-2

2

），

BE

=（-1，1，0），

BF

=（0，2，

2

），
∵

A1C

•

BE

=0，

A1C

•

BF

=0
∴A₁C⊥BE，A₁C⊥BF，
又∵BE∩BF=B
∴A₁C⊥平面BEF；
（2）由（1）可得

A1C

=（2，2，-2

2

）是平面BEF的一個(gè)法向量
且

A1B

=（2，0，-2

2

），
設(shè)向量

m

=（a，b，c）是平面A₁BF的一個(gè)法向量
則

m • A1B =0 m • BF =0

即

2a-2 2 c=0 2b+ 2 c=0

令c=2，則

m

=（2

2

，-

2

，2）是平面A₁BF的一個(gè)法向量
令銳二面角A₁-BF-E的平面角為θ
則cosθ=

| m • A1C |

| m |•| A1C |

=

2 2

4• 14

=

7

14

故二面角A₁-BF-E的大小為arccos

7

14

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系及二面角的大小轉(zhuǎn)化為向量垂直及夾角問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．