Question

過(guò)雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F引它到漸進(jìn)線的垂線，垂足為M，延長(zhǎng)FM交y軸于E，若=2，則該雙曲線離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．3

Answer 1

【答案】分析：先利用FM與漸近線垂直，寫(xiě)出直線FM的方程，從而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用已知向量式，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，最后由點(diǎn)M在漸進(jìn)線上，代入得a、b、c間的等式，進(jìn)而變換求出離心率
解答：解：設(shè)F（c，0），則c²=a²+b²
∵雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的漸進(jìn)線方程為y=±x
∴垂線FM的斜率為-
∴直線FM的方程為y=-（x-c）
令x=0，得點(diǎn)E的坐標(biāo)（0，）
設(shè)M（x，y），∵=2，
∴（x-c，y）=2（-x，-y）
∴x-c=-2x且y=-2y
即x=，y=
代入y=x
得=，即2a²=b²，
∴2a²=c²-a²，
∴=3，
∴該雙曲線離心率為
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，求雙曲線離心率的方法，向量在解析幾何中的應(yīng)用