Question

已知（x＞0，a是常數(shù)），若對(duì)曲線y=f（x）上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線y=g（x），f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：依題意，…（1分）y₀=f（x₀），曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線為…（2分），
即，所以…（3分）
直接計(jì)算得…（5分），
直接計(jì)算得f（x）≥g（x）等價(jià)于…（7分）
記，則…（8分）
若a²+a≤0，則由h′（x）=0，得x=x₀…（9分），
且當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x＞x₀時(shí)，h′（x）＞0…（10分），
所以h（x）在x=x₀處取得極小值，從而也是最小值，即h（x）≥h（x₀）=0，從而f（x）≥g（x）恒成立…（11分）．
若a²+a＞0，取，則，
且當(dāng)x₁≠x₀時(shí)h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增…（12分），
所以當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜h（x₀）=0，與f（x）≥g（x）恒成立矛盾，所以a²+a≤0…（13分），
從而a的取值范圍為-1≤a≤0…（14分）
分析：求出先求然后求出f'（x），再根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出f'（x₀）的值即為切線的斜率，利用點(diǎn)斜式可求出切線方程；再將f（x）≥g（x）恒成立，轉(zhuǎn)化為，記，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，然后分類討論建立關(guān)于a不等式，解之即可求出a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．