Question

【題目】已知函數(shù).（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）當(dāng)時(shí)，是否存在唯一的的值，使得？并說(shuō)明理由；

（2）若存在，使得對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）存在唯一的，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值為，由可得出結(jié)論；

（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時(shí)，，由題意得出，利用參變量分離法得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.

令，得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是函數(shù)的最小值點(diǎn)，即，

故存在唯一的，使得；

（2）設(shè)，則.

①先探究對(duì)任意的恒成立.

若，則，函數(shù)在上是減函數(shù)，

又，此時(shí)，不合題意；

若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

所以是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，

即；

②再來(lái)探究：存在，使得成立.

分離変量得：存在，使得成立.

設(shè)，則.

令，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.

，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.

所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

所以，，.

故實(shí)數(shù)的取值范圍是.