Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=ax（a∈R）
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象關于y軸對稱，求出實數(shù)a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有兩解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＞0，記F（x）=g（x）•f（x），求函數(shù)y=F（x） 在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義即可求得a=0；
（2）根據(jù)絕對值的應用結合x的方程f（x）=g（x）有兩解，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求出h（x）=g（x）f（x）的表達式，運用分類討論，并利用二次函數(shù)的性質，即可求函數(shù)y=h（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）的圖象關于y軸對稱，即f（x）為偶函數(shù)，
f（-x）=f（x），即有|-x-a|=|x-a|，解得a=0；
（2）由|x-a|=ax，
若a=0，則方程等價為|x|=0，此時x=0，只有一個解，不滿足條件．
若a＞0，分別作出函數(shù)y=|x-a|與y=ax的圖象，
此時只要滿足當x≥a時，y=|x-a|=x-a與y=ax有交點即可，
此時滿足y=ax的斜率a＜1，即0＜a＜1，
若a＜0，只要滿足當x≤a時，y=|x-a|=-x+a與y=ax有交點即可，
此時滿足y=ax的斜率a＞-1，即-1＜a＜0，
綜上0＜a＜1或-1＜a＜0．
（3）h（x）=g（x）f（x）=|x-a|•ax=$\left\{\begin{array}{l}{a（{x}^{2}-ax），x≥a}\\{a（ax-{x}^{2}），x＜a}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{a[（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}]，x≥a}\\{a[-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}]，x＜a}\end{array}\right.$，
當0＜a≤1時，f（x）在[1，2]上遞增，h（x）在[1，2]遞增，
h（x）_max=h（2）=2a（2-a）；
當1＜a$\frac{5}{3}$時，f（x）在[1，a]上遞減，[a，2]遞增，
h（1）-h（2）=a|1-a|-2a|a-2|=a（1-a）-2a（2-a）=a（3a-5）＜0，
即有h（x）_max=h（2）=2a（2-a）；
當$\frac{5}{3}$＜a＜2時，f（x）在[1，a]上遞減，在[a，2]上遞增，
h（1）-h（2）=3a-5＞0，h（1）＞h（2），
h（x）_max=h（1）=a（a-1）；
當2≤a≤4時，h_max（x）=F（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{3}}{4}$，
當a＞4時，h_max（x）=h（2）=2a（a-2）．
綜上可得h_max（x）$\left\{\begin{array}{l}{2a（2-a），0＜a≤\frac{5}{3}}\\{a（a-1），\frac{5}{3}＜a＜2}\\{\frac{{a}^{3}}{4}，2≤a≤4}\\{2a（a-2），a＞4}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和函數(shù)最值的求解，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義以及一元二次函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．