Question

14．設(shè)P為不等式組$\left\{\begin{array}{l}{（2+\sqrt{3}）x-y-1≥0}\\{x+y-1≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$所表示的區(qū)域內(nèi)任意一點，過P作圓（x-2）²+（y-1）²=1的切線，切點為A，B，則∠APB的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]
• B． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]
• C． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]
• D． [$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]

Answer 1

分析 設(shè)圓心為C，則AC=1，AP=$\sqrt{C{P}^{2}-1}$，CP越大，AP越大，∠APB越小，利用不等式組$\left\{\begin{array}{l}{（2+\sqrt{3}）x-y-1≥0}\\{x+y-1≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$所表示的區(qū)域，即可求出∠APB的取值范圍．

解答 解：設(shè)圓心為C，則AC=1，AP=$\sqrt{C{P}^{2}-1}$，CP越大，AP越大，∠APB越小
當(dāng)P在（2-$\sqrt{3}$，0）時，CP最大為2，$∠CPA=∠BPA=\frac{π}{6}$，∴∠APB最小為$\frac{π}{3}$；
當(dāng)P在（1，0）時，CP最小為$\sqrt{2}$，∠APC=45°，∴∠APB最大為$\frac{π}{2}$，
∴∠APB的取值范圍是[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．
故選：D．

點評 本題考查線性規(guī)劃知識，考查平面區(qū)域的運用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．