【題目】已知拋物線的方程為,過點
的一條直線與拋物線
交于
兩點,若拋物線在
兩點的切線交于點
.
(1)求點的軌跡方程;
(2)設(shè)直線與直線
的夾角為
,求
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ),
;(Ⅱ)
.
【解析】(Ⅰ)由AB直線與拋物線交于兩點可知,直線AB不與x軸垂直,故可設(shè),代入
,
整理得:,方程①的判別式
,故
時均滿足題目要求.記交點坐標(biāo)為
,則
為方程①的兩根,故由韋達(dá)定理可知,
.將拋物線方程轉(zhuǎn)化為
,則
,故A點處的切線方程為
,整理得
,
同理可得,B點處的切線方程為,記兩條切線的交點
,
聯(lián)立兩條切線的方程,解得點坐標(biāo)為
,
故點P的軌跡方程為,
(Ⅱ)當(dāng)時,
,此時直線PQ即為y軸,與直線AB的夾角為
.
當(dāng)時,記直線PQ的斜率為
,則
,又由于直線AB的斜率為
,且已知直線AB與直線PQ所夾角
,
綜上所述,得取值范圍是
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x,m>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m≥1時,討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉行元旦匯演,七位評委為某班的小品打出的分?jǐn)?shù)如莖葉統(tǒng)計圖,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的方差是 .
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【題目】設(shè)橢圓M:的左頂點為
、中心為
,若橢圓M過點
,且
.
(1)求橢圓M的方程;
(2)若△APQ的頂點Q也在橢圓M上,試求△APQ面積的最大值;
(3)過點作兩條斜率分別為
的直線交橢圓M于
兩點,且
,求證:直線
恒過一個定點.
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【題目】如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇AMPN,要求M在AB的延長線上,N在AD的延長線上,且對角線MN過點C,已知AB=3米,AD=2米,記矩形AMPN的面積為S平方米.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系;
(i)設(shè)AN=x米,將S表示為x的函數(shù);
(ii)設(shè)∠BMC=θ(rad),將S表示為θ的函數(shù).
(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系,求出S的最小值,并求出S取得最小值時AN的長度.
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【題目】如圖,正三棱柱中,
為
中點,
為
上的一點,
.
(1)若平面
,求證:
.
(2)平面將棱柱
分割為兩個幾何體,記上面一個幾何體的體積為
,下面一個幾何體的體積為
,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,其左、右焦點分別為
,左、右頂點分別為
,上、下頂點分別為
,四邊形
與四邊形
的面積之和為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓
交于
兩點,
(其中
為坐標(biāo)原點),求直線
被以線段
為直徑的圓截得的弦長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是平行四邊形,
,側(cè)面
底面
,
,
,
分別為
的中點,點
在線段
上.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)如果直線與平面
所成的角和直線
與平面
所成的角相等,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017河北唐山三�!�已知函數(shù),
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
有唯一零點
,證明:
.
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