【題目】已知拋物線的方程為,過點(diǎn)的一條直線與拋物線交于兩點(diǎn),若拋物線在兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)直線與直線的夾角為,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由AB直線與拋物線交于兩點(diǎn)可知,直線AB不與x軸垂直,故可設(shè),代入,
整理得:,方程①的判別式,故時(shí)均滿足題目要求.記交點(diǎn)坐標(biāo)為,則為方程①的兩根,故由韋達(dá)定理可知,.將拋物線方程轉(zhuǎn)化為,則,故A點(diǎn)處的切線方程為,整理得,
同理可得,B點(diǎn)處的切線方程為,記兩條切線的交點(diǎn),
聯(lián)立兩條切線的方程,解得點(diǎn)坐標(biāo)為,
故點(diǎn)P的軌跡方程為,
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,此時(shí)直線PQ即為y軸,與直線AB的夾角為.
當(dāng)時(shí),記直線PQ的斜率為,則,又由于直線AB的斜率為,且已知直線AB與直線PQ所夾角
,
綜上所述,得取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x,m>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m≥1時(shí),討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉行元旦匯演,七位評(píng)委為某班的小品打出的分?jǐn)?shù)如莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的方差是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓M:的左頂點(diǎn)為、中心為,若橢圓M過點(diǎn),且 .
(1)求橢圓M的方程;
(2)若△APQ的頂點(diǎn)Q也在橢圓M上,試求△APQ面積的最大值;
(3)過點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線交橢圓M于兩點(diǎn),且,求證:直線恒過一個(gè)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN,要求M在AB的延長線上,N在AD的延長線上,且對(duì)角線MN過點(diǎn)C,已知AB=3米,AD=2米,記矩形AMPN的面積為S平方米.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系;
(i)設(shè)AN=x米,將S表示為x的函數(shù);
(ii)設(shè)∠BMC=θ(rad),將S表示為θ的函數(shù).
(2)請(qǐng)你選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系,求出S的最小值,并求出S取得最小值時(shí)AN的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正三棱柱中,為中點(diǎn),為上的一點(diǎn),.
(1)若平面,求證:.
(2)平面將棱柱分割為兩個(gè)幾何體,記上面一個(gè)幾何體的體積為,下面一個(gè)幾何體的體積為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,其左、右焦點(diǎn)分別為,左、右頂點(diǎn)分別為,上、下頂點(diǎn)分別為,四邊形與四邊形的面積之和為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn),(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線被以線段為直徑的圓截得的弦長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,,側(cè)面底面,,, 分別為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等,求的值.
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【題目】【2017河北唐山三!已知函數(shù), .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn),證明: .
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