Question

（本題滿分12分）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A₁（-3，0），A₂（3，0），P（x,y），M（，0），若實(shí)數(shù)λ使向量，λ，滿足λ²·（）²=·。

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程，并判斷P點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線；

（2）當(dāng)λ=時(shí)，過(guò)點(diǎn)A₁且斜率為1的直線與此時(shí)（1）中的曲線相交的另一點(diǎn)為B，能否在直線x=-9上找一點(diǎn)C，使ΔA₁BC為正三角形（請(qǐng)說(shuō)明理由）。

Answer 1

解析:

解：（1）由已知可得，=（x+3,y）,=(x-3,y),=(,0),

∵2（）2=·，∴²（x²-9）=x²-9+y²,

即P點(diǎn)的軌跡方程（1-²）x²+y²=9（1-₂）

當(dāng)＞0，且≠0，即∈（-1，0）時(shí)，有+=1，

∵＞0，∴＞0，∴x2≤9。

∴P點(diǎn)的軌跡是點(diǎn)A₁，（-3，0）與點(diǎn)A₂（3，0）  ………………………………3分

當(dāng)=0時(shí)，方程為x²+y²=9，P的軌跡是點(diǎn)A₁（-3，0）與點(diǎn)A₂（3，0）

當(dāng)＜0，即入∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時(shí)，方程為-=1，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線。

當(dāng)=0，即=±1時(shí)，方程為y=0，P點(diǎn)的軌跡是射線。……………………6分

（2）過(guò)點(diǎn)A1且斜率為1的直線方程為y=x+3,

當(dāng)=時(shí)，曲線方程為+=1，

由（1）知，其軌跡為點(diǎn)A₁（-3，0）與A₂（3，0）

因直線過(guò)A₁（-3，0），但不過(guò)A₂（3，0）。

所以，點(diǎn)B不存在。

所以，在直線x=-9上找不到點(diǎn)C滿足條件。           …………………………12分