Question

某商店投入38萬元經銷某種紀念品，經銷時間共60天，為了獲得更多的利潤，商店將每天獲得的利潤投入到次日的經營中，市場調研表明，該商店在經銷這一產品期間第n天的利潤a_n=

1     1≤n≤25 1 25 n  26≤n≤60

（單位：萬元，n∈N^*），記第n天的利潤率b_n=

第n天的時間

前n天投入的資金總和

，例如b₃=

a3

38+a1+a2

．
（1）求b₁，b₂的值；
（2）求第n天的利潤率b_n；
（3）該商店在經銷此紀念品期間，哪一天的利潤率最大？并求該天的利潤率．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，b1=

1

38

；當n=2時，b2=

1

39

．
（2）當1≤n≤25時，a₁=a₂=…=a_n-1=a_n=1.bn=

an

38+a1+a2+…+an-1

=

1

38+n-1

=

1

37+n

．當26≤n≤60時，bn=

an

38+a1+…+a25+a26+…+an-1

=

2n

n2-n+2500

，由此能求出第n天的利潤率．
（3）當1≤n≤25時，bn=

1

37+n

是遞減數列，此時b_n的最大值為b1=

1

38

；當26≤n≤60時，bn=

2n

n2-n+2500

=

2

n+ 2500 n -1

≤

2

2 2500 -1

=

2

99

，由此能求出利潤率最大值．

解答：解：（1）當n=1時，b1=

1

38

；當n=2時，b2=

1

39

．（2分）
（2）當1≤n≤25時，a₁=a₂=…=a_n-1=a_n=1．
∴bn=

an

38+a1+a2+…+an-1

=

1

38+n-1

=

1

37+n

．（4分）
當26≤n≤60時，
bn=

an

38+a1+…+a25+a26+…+an-1

=

n 25

63+ (n-26)(n+25) 50

=

2n

n2-n+2500

，（6分）
∴第n天的利潤率bn=

1 37+n ，1≤n≤25(n∈N+) 2n n2-n+2500 ，26≤n≤60(n∈N+)

（8分）
（3）當1≤n≤25時，bn=

1

37+n

是遞減數列，此時b_n的最大值為b1=

1

38

；（10分）

當26≤n≤60時，

bn=

2n

n2-n+2500

=

2

n+ 2500 n -1

≤

2

2 2500 -1

=

2

99

（當且僅當n=

2500

n

，即n=50時，“=”成立）．（12分）
又∵

1

38

＞

2

99

，∴n=1時，(bn)max=

1

38

．（14分）

點評：本題考查數列的性質和綜合運用，具有一定的難度，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化和分類討論思想的運用．