Question

9．已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₃•a₄=117，a₂+a₅=-22．
（1）求通項(xiàng)a_n；
（2）求S_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得a₃，a₄是方程x²+22x+117=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a₃＜a₄，從而得到a₁=-21，d=4，由此能求出通項(xiàng)a_n．
（2）S_n=-21n+$\frac{n（n-1）}{2}×4$=2n²-23n，由此利用配方法能求出S_n的最小值．

解答 解：（1）∵公差大于零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
且滿足a₃•a₄=117，a₂+a₅=-22．
∴a₃+a₄=a₂+a₅=-22．
∴a₃，a₄是方程x²+22x+117=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a₃＜a₄，
解方程x²+22x+117=0，得a₃=-13，a₄=-9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=-13}\\{{a}_{1}+3d=-9}\end{array}\right.$，解得a₁=-21，d=4，
∴a_n=a₁+（n-1）d=4n-25．
（2）∵a₁=-21，d=4，
∴S_n=-21n+$\frac{n（n-1）}{2}×4$=2n²-23n=2（n-$\frac{23}{4}$）²-$\frac{539}{8}$．
∴當(dāng)n=6時(shí)，S_n取最小值${S}_{6}=2（6-\frac{23}{4}）^{2}-\frac{539}{8}$=-66．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．