Question

某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與醫(yī)院抄錄1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：

日    期	1月10日	2月10日	3月10日	4月10日	5月10日	6月10日
晝夜溫差x（℃）	10	11	13	12	8	6
就診人數(shù)y（個）	22	25	29	26	16	12

該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．
（Ⅰ）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率；
（Ⅱ）若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程

y

=bx+a；
（Ⅲ）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想？
參考公式：線性回歸方程的系數(shù)公式為b=

n i-1 xiyi-n . x . y

n i-1 x 2 i -n -2 x

=

n i-1 (xi- . x )(yi- . y )

n i-1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有C₆²種情況，滿足條件的事件是抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)的情況有5種，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果．
（II）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，求出x，y的平均數(shù)，根據(jù)求線性回歸方程系數(shù)的方法，求出系數(shù)b，把b和x，y的平均數(shù)，代入求a的公式，做出a的值，寫出線性回歸方程．
（III）根據(jù)所求的線性回歸方程，預(yù)報當自變量為10和6時的y的值，把預(yù)報的值同原來表中所給的10和6對應(yīng)的值做差，差的絕對值不超過2，得到線性回歸方程理想．

解答：解：（I）設(shè)抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)為事件A，
∵從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有C₆²=15種情況，每種情況是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)的情況有5種，
∴P(A)=

5

15

=

1

3

…（4分）
（II）由數(shù)據(jù)求得x=11，y=24，由公式求得

b

=

18

7

，由

a

=

.

y

-b

.

x

，求得

a

=-

30

7

∴y關(guān)于x的線性回歸方程為

y

=

18

7

x-

30

7

…（9分）
（III）當x=10時，y=

150

7

，|

150

7

-22|=

4

7

＜2，
當x=6時，y=

78

7

，|

78

7

-12|=

6

7

＜2，
所以該小組所得線性回歸方程是理想的．…（12分）

點評：本題考查線性回歸方程的求法，考查等可能事件的概率，考查線性分析的應(yīng)用，考查解決實際問題的能力，是一個綜合題目，這種題目可以作為解答題出現(xiàn)在高考卷中．