Question

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，兩焦點(diǎn)為F₁、F₂，短軸的一個端點(diǎn)為D，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)（A、B不是上下頂點(diǎn)），當(dāng)以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)P（0，1）時，試問：直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)．求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)為F₁、F₂，短軸的一個端點(diǎn)為D，且，可得△DF₁F₂為等腰直角三角形，且b=c，再利用橢圓經(jīng)過點(diǎn)，即可求得橢圓的方程；
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)l：x=m，代入橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，利用以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)P（0，1），可求l的方程；②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y=kx+b，代入橢圓方程，利用以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)P（0，1），結(jié)合韋達(dá)定理，可得結(jié)論．
解答：解：（1）∵焦點(diǎn)為F₁、F₂，短軸的一個端點(diǎn)為D，且
∴△DF₁F₂為等腰直角三角形，且b=c
∴a=
∴
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，
∴
∴b=1
∴
∴橢圓的方程為；
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)l：x=m，代入橢圓方程，可得
∴A（m，），B（m，-），
∵以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)P（0，1）
∴
∴（m，-1）•（m，--1）=0，
∴m=0
∴l(xiāng)：x=0；
②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y=kx+b，代入橢圓方程，消去y可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0
△=16k²-8b²+8＞0，∴2k²＞b²-1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)P（0，1）
∴
∴=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0
∴3b²-2b-1=0
∴或b=1
當(dāng)b=1時，不符合題意；
當(dāng)時，直線l恒過定點(diǎn)（0，-）．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．