Question

在x軸同側的兩個圓：動圓C₁和圓4a²x²+4a²y²-4abx-2ay+b²=0外切（a，b∈N，a≠0），且動圓C₁與x軸相切，求：
（1）動圓C₁的圓心軌跡方程L；
（2）若直線4（

7

-1）abx-4ay+b²+a²-6958a=0與曲線L有且僅有一個公共點，求a，b之值．

Answer 1

分析：（1）由4a²x²+4a²y²-4abx-2ay+b²=0可得(x-

b

2a

)2+(y-

1

4a

)2=(

1

4a

)2，利用動圓C₁和圓4a²x²+4a²y²-4abx-2ay+b²=0外切（a，b∈N，a≠0），且動圓C₁與x軸相切，建立方程，即可求動圓C₁的圓心軌跡方程L；
（2）直線代入曲線，消去y，利用△=0，再代入換元，即可求得結論．

解答：解：（1）由4a²x²+4a²y²-4abx-2ay+b²=0可得(x-

b

2a

)2+(y-

1

4a

)2=(

1

4a

)2，
由a，b∈N，以及兩圓在x軸同側，可知動圓圓心在x軸上方，
設動圓圓心坐標為（x，y），
則有

(x- b 2a )2+(y- 1 4a )2

=y+

1

4a

，
整理得到動圓圓心軌跡方程y=ax2-bx+

b2

4a

（x≠

b

2a

）．
（2）直線代入曲線，消去y得-4a²x²-4

7

abx-（a²-6958a）=0，
由△=16×7a²b²+16a²（a²-6958a）=0，
整理得7b²+a²=6958a①
令a=7a₁，代入③可得b2+7a12=6958a₁，
再令b=7b₁，代入上式得7b12+a12=994a₁，
從而可令a=49n，b=49m代入①可得7m²+n²=142n②
對②進行配方，得 （n-71）²+7m²=71²
對此式進行奇偶分析，可知m，n均為偶數，所以7m²=71²-（n-71）²為8的倍數，
令m=4r，則112r²≤71²，∴r²≤45．
∴|r|=0，1，2，3，4，5，6
僅當|r|=0，4時，71²-112r²為完全平方數．
于是解得

a=6272 b=784

或

a=686 b=784

．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與曲線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，求a，b的值有難度．