Question

18．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，若在C上存在一點P，使得PO=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|（O為坐標原點），且直線OP的斜率為$\frac{4}{3}$，則，雙曲線C的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 依題意可知|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|判斷出∠F₁PF₂=90°，直線OP的斜率為$\frac{4}{3}$，可求出出|PF₂|=$\frac{4}{\sqrt{5}}$c，則|F₁P|=$\frac{2}{\sqrt{5}}$c，進而利用雙曲線定義可用c表示出a，最后可求得雙曲線的離心率．

解答 解：∵|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，
∴|OF₁|=|OF₂|=|OP|
∴∠F₁PF₂=90°，
∵直線OP的斜率為$\frac{4}{3}$，
∴tan∠POF₁=$\frac{4}{3}$，
∴cos∠POF₁=$\frac{3}{5}$
由余弦定理可得|PF₁|²=c²+c²-2c²•$\frac{3}{5}$=$\frac{4}{5}$c²，
即|PF₁|=$\frac{2c}{\sqrt{5}}$，
同理可得|PF₂|=$\frac{4c}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{4c}{\sqrt{5}}$-$\frac{2c}{\sqrt{5}}$=2a，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$
∴e=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質，考查了學生對雙曲線定義的理解和靈活運用，屬于中檔題．