Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），x∈R，且函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

π

4

，2）．
（1）求實(shí)數(shù)m的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的最小值及x的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合圖象過點(diǎn)（

π

4

，2），求得m=1，再由兩角和的正弦公式，再由正弦函數(shù)的增區(qū)間，解不等式即可得到所求區(qū)間；
（2）由x的范圍，求得2x+

π

4

的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最小值及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x
由于函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

π

4

，2），
則f（

π

4

）=2，即有m（1+1）=2，解得，m=1，
則f（x）=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin（2x+

π

4

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
解得，kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
即有函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，則2x+

π

4

∈[-

π

12

，

5π

4

]，
則當(dāng)x=

π

2

時(shí)，sin（2x+

π

4

）取得最小值-

2

2

，
f（x）取得最小值，且為1+

2

×（-

2

2

）=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和圖象與性質(zhì)及最值的求法，屬于中檔題．