Question

18．函數(shù)f（x）=k•a^-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）+b}{f（x）-1}$是奇函數(shù)，求b的值；
（3）在（2）的條件下判斷函數(shù)g（x）的單調性，并用定義證明你的結論；
（4）解不等式g（3x）+g（x-3-x²）＜0．

Answer 1

分析 （1）將A（0，1），B（3，8）代入函數(shù)解析式，得到關于k和a的方程，解方程即可得k和a的值，最后寫出解析式即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行求解．
（3）根據(jù)函數(shù)單調性的定義進行證明．
（4）結合函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系進行求解即可．

解答 解：（1）將A（0，1），B（3，8）代入函數(shù)解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{k•{a}^{-3}=8}\end{array}\right.$，
解得k=1，a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=2^x
（2）g（x）=$\frac{f（x）+b}{f（x）-1}$=$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}-1}$，
若g（x）是奇函數(shù)，
則g（-x）=-g（x），
即$\frac{{2}^{-x}+b}{{2}^{-x}-1}$=-$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}-1}$，
即$\frac{1+b•{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}+b}{1-{2}^{x}}$，
即1+b•2^x=2^x+b，
則b=1．
（3）∵b=1，
∴g（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=$\frac{{2}^{x}-1+2}{{2}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，
要使原來函數(shù)有意義，必須滿足2^x-1≠0，即x≠0
∴函數(shù)的定義域為{x|x≠0}；
設x₁＜x₂＜0，
則g（x₁）-g（x₂）=1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-1）-2（{2}^{{x}_{1}}-1）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$
=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$，
∵x₁＜x₂＜0，
∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$＜1，即${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0．
${2}^{{x}_{1}}$-1＜0，${2}^{{x}_{2}}$-1＜0，
則$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
即g（x₁）-g（x₂）＞0，則g（x₁）＞g（x₂），即此時函數(shù)單調遞減，
同理當x＞0時，函數(shù)g（x）為單調遞減函數(shù)．
（4）∵g（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=$\frac{{2}^{x}-1+2}{{2}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，
∴當x＞0時，g（x）＞0，
當x＜0時，g（x）＜0，
不等式g（3x）+g（x-3-x²）＜0．
等價為不等式g（3x）＜-g（x-3-x²）=g（x²-x+3），
∵x²-x+3=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$＞0，
∴g（x²-x+3）＞0，
若3x＜0，則x＜0時，g（3x）＜0，則不等式成立，
若3x＞0，即x＞0時，
∵g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴3x＞x²-x+3，
即x²-4x+3＜0，
解得1＜x＜3，
綜上不等式的解為1＜x＜3或x＜0，
即不等式的解集為（1，3）∪（-∞，0）．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，函數(shù)奇偶性，單調性的應用，以及利用函數(shù)奇偶性和單調性的關系求解不等式，綜合考查函數(shù)的性質．