Question

如圖，多面體ABCD-EFG中，底面ABCD為正方形，GD∥FC∥AE，AE⊥平面ABCD，其正視圖、俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖：
（1）求證：平面AEFC⊥平面BDG；
（2）求該幾何體的體積；
（3）求點C到平面BDG的距離．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由面面垂直的判定定理，先證線面垂直，再證面面垂直，即證明AC⊥面BDG；
（2）原幾何體可以劃分為兩個四棱錐：B-CFGD和B-AEGD；
（3）過C作CH⊥BD于H，則CH⊥平面BDG，故CH的長即為點C到平面BDG的距離，利用等面積，即可求得結(jié)論．

解答： （1）證明：連接AC，BD，
正方形ABCD中，AC⊥BD，又AE∥GD∥FC，AE⊥平面ABCD，
∴GD⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，則AC⊥GD，
又AC⊥BD，GD∩BD=D，
∴AC⊥平面BDG，
又AC?平面AEFC，∴平面AEFC⊥平面BDG；
（2）解：原幾何體可以劃分為兩個四棱錐：B-CFGD和B-AEGD，而
V_B-CFGD=

1

3

•2²•2=

8

3

，V_B-AEGD=

1

3

•

1

2

（1+2）•2•2=2，
∴所給幾何體的體積為：V=

8

3

+2=

14

3

；
（3）解：由條件可知GD⊥平面ABCD，故平面BDG⊥平面ABCD．
過C作CH⊥BD于H，則CH⊥平面BDG，故CH的長即為點C到平面BDG的距離．
在Rt△BCD中，由面積公式可得BD•CH=BC•CD，則CH=

2

，
即點C到平面BDG的距離為

2

．

點評：本題考查了立體幾何中面面垂直的判定定理，考查體積的計算，考查點C到平面BDG的距離，屬于中檔題．