Question

（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的最小值；

（2）若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，則對任意的恒成立，又即對任意的恒成立；（2）“若存在使成立”等價于

“當(dāng)時，有，分別求出相應(yīng)的最值后分<兩種情況進(jìn)行分類討論，當(dāng)時，可得=，故．當(dāng)<時不存在；當(dāng)然本題也可用分離參數(shù).

試題解析：（1）由已知得x＞0，x≠1．

因f （x）在上為減函數(shù)，故在上恒成立． 1分

所以當(dāng)時，．

又， 2分

故當(dāng)，即時，．

所以于是，故a的最小值為． 4分

（2）命題“若存在使成立”等價于

“當(dāng)時，有”． 5分

由（Ⅰ），當(dāng)時，，．

問題等價于：“當(dāng)時，有”． 6分

①當(dāng)時，由（1），在上為減函數(shù)，

則=，故． 8分

②當(dāng)<時，由于在上的值域為

（�。�，即，在恒成立，故在上為增函數(shù)，

于是，，矛盾． 10分

（ⅱ），即，由的單調(diào)性和值域知，

存在唯一，使，且滿足：

當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；

所以，， 12分

所以，，與矛盾． 13分

綜上，得 14分

考點：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用