Question

【題目】已知平面內(nèi)的定點(diǎn)到定直線的距離等于，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．在曲線上任取一點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）記點(diǎn)到直線的距離為，且，求的取值范圍；

（3）判斷的平分線所在的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）見(jiàn)解析． （3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析; （1）以FK的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，FK所在的直線為x軸，過(guò)O的垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，求得F的坐標(biāo)和直線l的方程，運(yùn)用拋物線的定義，可得M的軌跡和方程；（2）利用向量點(diǎn)積運(yùn)算可得到，根據(jù)條件，可得到角的范圍;（3）∠EAF的平分線所在的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．設(shè)A（x0，y0），可得y02=2px0，討論當(dāng)A與O重合時(shí)，顯然一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)A不與O重合，A在上方，推得四邊形EAFM為菱形，求得AMF的正切值，設(shè)出直線AM的方程，聯(lián)立拋物線的方程，即可得到證明．

解析：

（1）過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為軸， 軸與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．

設(shè) ， 到定點(diǎn)與到定直線的距離相等，

化簡(jiǎn)得：

（2）設(shè)

， ,

．

（3）設(shè) ， .

由，得的平分線所在的直線方程就是邊上的高所在的直線方程．

的平分線所在的直線方程為．

由，消得．

， ．

的平分線所在的直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)．