Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1滿足條件：（1）焦點(diǎn)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）；（2）離心率為

5

3

，求得雙曲線C的方程為f（x，y）=0．若去掉條件（2），另加一個(gè)條件求得雙曲線C的方程仍為f（x，y）=0，則下列四個(gè)條件中，符合添加的條件可以是（　　）
①雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上的任意點(diǎn)P都滿足||PF₁|-|PF₂||=6；
②雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為4x±3y=0；
③雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距為10；
④雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4．

• A、①③
• B、②③
• C、①④
• D、①②④

Answer 1

分析：根據(jù)所給的條件結(jié)合雙曲線的性質(zhì)能否得出離心率為

5

3

，，即可判斷添加的條件是否合適．

解答：解：對(duì)于①，∵||PF₁|-|PF₂||=2a=6
∴a=3
又∵焦點(diǎn)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）
∴c=5
∴離心率e=

5

3

 故①符合條件
對(duì)于②，∵近線方程為4x±3y=0
∴

b

a

=

4

3

又∵c=5 c²=a²+b²
∴a=3
∴離心率e=

5

3

故②符合條件
對(duì)于③，可知c=5，這與（1）得出的結(jié)論相同
∴故③不合條件
對(duì)于④，焦點(diǎn)到漸進(jìn)方程bx+ay=0的距離為d=

|5b|

a2+b2

=

5b

c

=

5b

5

=4
∴b=4，a=3
∴離心率e=

5

3

 故④符合條件
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義以及性質(zhì)，要區(qū)別雙曲線與其他圓錐曲線中a、b、c的關(guān)系，屬于中檔題．