【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在
處切線與坐標軸圍成的三角形面積為
,求實數(shù)
的值;
(2)若,求證:
.
【答案】(1)或
;(2)見解析
【解析】
(1)利用導函數(shù)求出曲線在
處切線,表示出切線與坐標軸圍成三角形面積即可求解;
(2)需證明的不等式通過作差轉(zhuǎn)化成證明,利用導函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可得證.
(1),則
為切線斜率.
又,∴切點為
.∴曲線在
處切成方程為
.
當時,
,當
時,
(易知
)
則切線與坐標軸圍成三角形面積為.
∴得
.
所以或
.
(2)法一:時,
要證的不等式為,即
.
令,則
.
易知遞增,
,
,∴
僅有一解
且
,即
.
當時,
,
遞減;當
時,
,
遞增.
從而最小值為
∴
,故原不等式成立.
法二:時,要證的不等式為
.令
,則
.
故問題化為證不等式恒成立.
時,
令,則
,當
時,
,
遞減;
當時,
,
遞增.∴
,從而原不等式成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知平面上兩定點M(0,﹣2)、N(0,2),P為一動點,滿足|
||
|
(I)求動點P的軌跡C的方程;
(II)若A、B是軌跡C上的兩不同動點,且λ
.分別以A、B為切點作軌跡C的切線,設(shè)其交點Q,證明
為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知
是曲線
:
上的動點,將
繞點
順時針旋轉(zhuǎn)
得到
,設(shè)點
的軌跡為曲線
.以坐標原點
為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線,
的極坐標方程;
(2)在極坐標系中,點,射線
與曲線
,
分別相交于異于極點
的
兩點,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的左、右焦點分別為
,
,若橢圓經(jīng)過點
,且△PF1F2的面積為2.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)斜率為1的直線與以原點為圓心,半徑為
的圓交于A,B兩點,與橢圓C交于C,D兩點,且
(
),當
取得最小值時,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率
,且圓
經(jīng)過橢圓C的上、下頂點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l與橢圓C相切,且與橢圓相交于M,N兩點,證明:
的面積為定值(O為坐標原點).
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【題目】設(shè)點,
分別是橢圓
:
的左、右焦點,且橢圓
上的點到點
的距離的最小值為
.點M、N是橢圓
上位于
軸上方的兩點,且向量
與向量
平行.
(1)求橢圓的方程;
(2)當時,求△
的面積;
(3)當時,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為
,求該四棱錐的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為正方形,
底面
,
,
為線段
的中點.
(1)若為線段
上的動點,證明:平面
平面
;
(2)若為線段
,
,
上的動點(不含
,
),
,三棱錐
的體積是否存在最大值?如果存在,求出最大值;如果不存在,請說明理由.
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