Question

已知在直角坐標(biāo)系xOy中，圓錐曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y= 3 sinθ

，（θ為參數(shù)），定點(diǎn)A（0，-3），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是圓錐曲線C的左，右焦點(diǎn)．
（1）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₁，且平行于直線AF₂的直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)直線l與圓錐曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求|EF|．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）首先把曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步確定焦點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，最后轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論建立方程組，整理成關(guān)于x的一元二次方程，再利用根和系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式求出結(jié)果．

解答： 解：（1）圓錐曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y= 3 sinθ

，（θ為參數(shù)），整理成直角坐標(biāo)方程為：

x2

4

+

y2

3

=1
所以：F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
已知定點(diǎn)A（0，-3），則：kAF2=3
所以：過(guò)F₁且平行于AF₂的直線l的方程為：y=3x+3
轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程為：ρsinθ-3ρcosθ-3=0．
（2）直線l和曲線交于E、F，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）
所以：

x2 4 + y2 3 =1 y=3x+3

整理得：13x²+24x+8=0
則：x1+x2=-

24

13

，x1x2=

8

13

所以：|EF|=

1+9

|x1-x2|=

8 85

13

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，利用點(diǎn)斜式求直線的方程，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，直線與曲線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，根和系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．