Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

．
（Ⅰ）若原點(diǎn)到直線x+y-b=0的距離為

2

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線和橢圓交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)|AB|=

3

，求b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

b

2

=

2

，e=

c

a

=

6

3

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由已知橢圓的方程可化為：x²+3y²=3b²，AB：y=x-

2

b，從而4x²-6

2

bx+3b²=0，|AB|=

(1+1)• 72b2-48b2 42

，由此能求出b=1．

解答： 解：（Ⅰ）∵d=

b

2

=

2

，∴b=2，
∴e=

c

a

=

6

3

，∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

2

3

，
解得a²=12，
橢圓的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）∵

c

a

=

6

3

，∴a²=3b²，c2=

2

3

a2=2b2 ，
∴橢圓的方程可化為：x²+3y²=3b²，①
∵右焦點(diǎn)F（

2

b，0），據(jù)題意有AB：y=x-

2

b，②
由①，②有：4x²-6

2

bx+3b²=0，③
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

3 2 b

2

，x₁x₂=

3b2

4

，
∴|AB|=

(1+1)• 72b2-48b2 42

=

2× 24b2 42

=

3

b=

3

，解得b=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．