Question

如下圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2 m的無蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a m，高度為b m，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a,b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60 m²，問當(dāng)a,b各為多少時(shí)，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小？（A、B孔的面積忽略不計(jì)）

Answer 1

思路分析：題意中的“雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)”可按“雜質(zhì)的含量”理解，設(shè)為y，由題意y與ab成反比，又設(shè)比例系數(shù)為k，則y=.又由于受箱體材料多少的限制，a,b之間應(yīng)有一定的關(guān)系式，即2×(2b)+2ab+2a=60,因此該題的數(shù)學(xué)模型是：已知ab+a+2b=30,a＞0,b＞0,當(dāng)y=最小時(shí)，求a,b的值.

解法一：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，由題意

y=(k＞0)，其中k為比例系數(shù).

又據(jù)題意設(shè)2×2b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0)，

∴b=（由a＞0,b＞0,可得a＜30）.

∴y==.

令t=a+2,則a=t-2,

從而

=≤34-=18,

∴y=≥.

當(dāng)且僅當(dāng)t=64t,即t=8,

∴a=6時(shí)取“=”號(hào).

由a=6,得b=3.

    綜上所述，當(dāng)a=6 m,b=3 m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

解法二：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，依題意y=，其中k為比例系數(shù)，k＞0，要求y的最小值，必須求解ab的最大值.

題設(shè)4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a＞0,b＞0),

∵a+2b≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取“=”號(hào))，

∴ab+≤30,可解得0＜ab≤18.

由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3.

即a=6,b=3時(shí)，ab取最大值，從而y值最小.