Question

18．如圖，直線l：y=-x+1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點．
（Ⅰ）若橢圓的焦距為2，離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求△OAB的面積；
（Ⅱ）若以A、B為直徑的圓經(jīng)過原點，且橢圓的長軸2a∈[$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}$]時，求橢圓離心率取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）∵e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2c=2，則$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}$，則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{2}$．解得橢圓方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，消去y得：（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，由∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，代入列式求解．

解答 解：（Ⅰ）∵e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2c=2，則$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}$，則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{2}$．
∴橢圓得方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$
將y=-x+1代入消去y得：5x²-6x-3=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y2）
∴$|AB|=\sqrt{1+（-1）^{2}}×\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}×\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+\frac{12}{5}}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
又原點到直線l的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故${S}_{△AOB}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，消去y得：（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1
又x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}（1-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$
y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1
由x₁x₂+y₁y₂=0，得：2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴$\frac{2{a}^{2}（1-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}-\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}+1=0$整理得：a²+b²-2a²b2=0，
∵b²=a²-c²=a²-a²e²代入上式得：2${a}^{2}=1+\frac{1}{1-{e}^{2}}$∴${e}^{2}=1-\frac{1}{2{a}^{2}-1}∴2a∈[2\sqrt{2}，2\sqrt{3}]$
∴${e}^{2}∈[\frac{2}{3}，\frac{4}{5}]$，符合條件a²+b²＞1
由此得：$e∈[\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{2\sqrt{5}}{5}]$

點評 本題主要考查了橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的綜合問題屬于中檔題型，高考經(jīng)常涉及．