Question

對于函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

 (a∈R)． 
（1）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使得f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

（1）∵f（x）的定義域?yàn)镽，設(shè)x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

，（3分）
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，（5分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總為增函數(shù)．（6分）
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）（7分）
即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，（9分）
解得：a=1，故存在實(shí)數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)．  （12分）