Question

已知命題：平面上一矩形ABCD的對(duì)角線AC與邊AB、AD所成的角分別為α、β（如圖1），則cos²α+cos²β=1．用類比的方法，把它推廣到空間長方體中，試寫出相應(yīng)的一個(gè)真命題并證明．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，由在長方形中，設(shè)一條對(duì)角線與其一頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos²α+cos²β=1，我們根據(jù)平面性質(zhì)可以類比推斷出空間性質(zhì)，我們易得答案．

解答：解：有如下命題：長方體ABCD-A'B'C'D'中，對(duì)角線AC'與棱AB、AD、AA'所成的角分別為α，β，γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=1…（4分）
證明：∵cosα=

AB

AC′

，_C#Ocosβ=

AD

AC′

，cosγ=

AA′

AC′

…（10分）
∴cos2α+cos2β+cos2γ=

AB2+AD2+AA′2

AC′2

=

AC′2

AC′2

=1…（13分）
此題答案不唯一，只要類比寫出的命題為真并證明，都應(yīng)給相應(yīng)的分?jǐn)?shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，在由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時(shí)，常用的思路有：由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)，或是將平面中的兩維性質(zhì)，類比推斷到空間中的三維性質(zhì)．