Question

在△ABC中，cos(A-C)+2cos2

B

2

=

5

2

，三邊a，b，c成等比數(shù)列，求B．

Answer 1

分析：把已知等式左邊的第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，移項(xiàng)合并后，由B=π-（A+C）再利用誘導(dǎo)公式變形，和差化積后得到sinAsinC的值，然后根據(jù)三邊a，b，c成等比數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡后，把求出的sinAsinC的值代入，開方可得出sinB的值，根據(jù)B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)．

解答：解：由已知得：cos（A-C）+cosB=

3

2

，
cos（A-C）+cos（A+C）=

3

2

，
∴sinAsinC=

3

4

，
又∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac，
又由正弦定理得sin²B=sinA•sinC，
∴sin²B=

3

4

，sinB=

3

2

，(-

3

2

舍去)，
∴B=60°或120°，
但若B=120°，則有b＞a，b＞c，b²＞ac，
這與已知b²=ac矛盾，故B≠120°，
∴B=60°

點(diǎn)評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及正弦定理，利用了整體代入的思想．學(xué)生在求值時(shí)注意根據(jù)角度的范圍做到合理的取舍，例如求sinB值時(shí)，舍去負(fù)值是因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，不可能取負(fù)值；求出B度數(shù)后，利用了反證法說明了B≠120°，進(jìn)而得出了滿足題意的B的度數(shù)．