計(jì)算出數(shù)列1，1+2+1，1+2+3+2+1，…，1+2+3+…+n+…+3+2+1，…的前n項(xiàng)，并猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后用歸納法證明.

解：計(jì)算并觀(guān)察得1=12，1+2+1=4=22，1+2+3+2+1=9=32.

由此猜想得1+2+3+…+n+…+3+2+1=n2.故an=a2.

即數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°當(dāng)n=1時(shí)，a1=1=12，猜想正確；

2°假設(shè)n=k時(shí)猜想正確，即

ak=1+2+3+…+k+…+3+2+1=k2，

那么ak+1=1+2+3+…+k+（k+1）+k+…+3+2+1

=（1+2+3+…+k+…+3+2+1）+（k+1）+k

=k2+2k+1=（k+1）2.

∴n=k+1時(shí)猜想正確.

由1°2°可知1+2+3+…+n+…+3+2+1=n2對(duì)任意正整數(shù)均成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

根據(jù)定義在集合A上的函數(shù)y=f（x），構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：①輸入數(shù)據(jù)x0∈A，計(jì)算出x1=f（x0）；②若x1∉A，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x1∈A，則輸出x1，并將x1反饋回輸入端，再計(jì)算出x2=f（x1），并依此規(guī)律繼續(xù)下去．若集合A={x|0＜x＜1}}，f（x）=
mx
m+1-x
（m∈N*）．
（理）（1）求證：對(duì)任意x0∈A，此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn}；
（2）若x0=
1
2
，記an=
1
xn
（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，證明：3≤am＜4（n∈N*）．
（文）（1）求證：對(duì)任意x0∈A，此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn}；
（2）若m=1，求證：數(shù)列{xn}單調(diào)遞減；
（3）若x0=
1
2
，記an=
1
xn
（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若數(shù)列{an}，{bn}中，a1=a，b1=b，
an=-2an-1+4bn-1
bn=-5an-1+7bn-1
，（n∈N，n≥2）．請(qǐng)按照要求完成下列各題，并將答案填在答題紙的指定位置上．
（1）可考慮利用算法來(lái)求am，bm的值，其中m為給定的數(shù)據(jù)（m≥2，m∈N）．右圖算法中，虛線(xiàn)框中所缺的流程，可以為下面A、B、C、D中的
ACD
ACD

（請(qǐng)?zhí)畛鋈看鸢福?BR>A、B、
C、D、

（2）我們可證明當(dāng)a≠b，5a≠4b時(shí)，{an-bn}及{5an-4bn}均為等比數(shù)列，請(qǐng)按答紙題要求，完成一個(gè)問(wèn)題證明，并填空．
證明：{an-bn}是等比數(shù)列，過(guò)程如下：an-bn=（-2an-1+4bn-1）+（5an-1-7bn-1）=3an-1-3bn-1=3（an-1-bn-1）
所以{an-bn}是以a1-b1=a-b≠0為首項(xiàng)，以
3
3
為公比的等比數(shù)列；
同理{5an-4bn}是以5a1-4b1=5a-4b≠0為首項(xiàng)，以
2
2
為公比的等比數(shù)列
（3）若將an，bn寫(xiě)成列向量形式，則存在矩陣A，使
an
bn
=A
an-1
bn-1
=A(A
an-2
bn-2
)=A2
an-2
bn-2
=…=An-1
a1
b1
，請(qǐng)回答下面問(wèn)題：
①寫(xiě)出矩陣A=
-24
-57
-24
-57
；  ②若矩陣Bn=A+A2+A3+…+An，矩陣Cn=PBnQ，其中矩陣Cn只有一個(gè)元素，且該元素為Bn中所有元素的和，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足要求的一組P，Q：
P=
1 
1 
，Q=
1
1
P=
1 
1 
，Q=
1
1
； ③矩陣Cn中的唯一元素是
2n+2-4
2n+2-4
．
計(jì)算過(guò)程如下：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算出數(shù)列1，1+2+1，1+2+3+2+1，…，1+2+3+…+n+…+3+2+1，…的前n項(xiàng)，并猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2008年北京市宣武區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

根據(jù)定義在集合A上的函數(shù)y=f（x），構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：
①輸入數(shù)據(jù)x∈A，計(jì)算出x1=f（x）；
②若x∉A，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；
若x∈A，則輸出x1，并將x1反饋回輸入端，再計(jì)算出x2=f（x1）．并依此規(guī)律繼續(xù)下去．
現(xiàn)在有A={x|0＜x＜1}，（m∈N*）．
（1）求證：對(duì)任意x∈A，此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn}；
（2）若，記（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）在得條件下，證明（m∈N*）．

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