Question

已知拋物線x²＝4y的焦點為F，過焦點F且不平行于x軸的動直線交拋物線于A、B兩點，拋物線在A、B兩點處的切線交于點M.

(1) 求證：A、M、B三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

(2) 設(shè)直線MF交該拋物線于C、D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

 (1) 證明：由已知，得F(0，1)，顯然直線AB的斜率存在且不為0,

則可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1(k≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由消去y，得x²－4kx－4＝0，顯然Δ＝16k²＋16>0.

所以x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4，

由x²＝4y，得y＝x²，所以y′＝x, 所以，直線AM的斜率為k_AM＝x_1,

所以，直線AM的方程為y－y₁＝x₁(x－x₁)，又x＝4y_1,

所以，直線AM的方程為x₁x＝2(y＋y₁)�、�，

同理，直線BM的方程為x₂x＝2(y＋y₂)�、冢�

②－①并據(jù)x₁≠x₂得點M的橫坐標(biāo)x＝，

即A、M、B三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

(2) 解：由①②易得y＝－1，所以點M的坐標(biāo)為(2k，－1)(k≠0).

所以k_MF＝＝－， 則直線MF的方程為y＝－x＋1，

設(shè)C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)

由消去y，得x²＋x－4＝0，顯然Δ＝＋16>0,

所以x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝－4，

 

＝

因為k_MF·k_AB＝－1，所以AB⊥CD ，

所以S_ACBD＝|AB|·|CD|＝8≥32,

當(dāng)且僅當(dāng)k＝±1時，四邊形ACBD面積取到最小值32.