Question

19．用平行于四面體ABCD的-組對棱AC和BD的平面截此四面體．得一四邊形MNPQ．如圖所示．
（1）求證：四邊形MNPQ是平行四邊形；
（2）若AC=BD．能截得菱形嗎？如何截？
（3）在什么情況下，可以截得-個矩形？
（4）在什么情況下，能截得-個正方形呢？如何截？
（5）若AC=BD=a，求證：?MNPQ的周長為定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，便可得到AC∥MN，AC∥PQ，BD∥NP，BD∥MQ，這便得出四邊形MNPQ為平行四邊形；
（2）菱形便是四條邊相等，從而看出M，N，P，Q分別為棱AB，BC，CD，DA的中點時，所得四邊形為菱形；
（3）矩形就是平行四邊形的一個內(nèi)角為直角，這樣可看出當(dāng)AC⊥BD時截得的便是矩形；
（4）正方形要滿足四條邊相等，還得是矩形，從而滿足（2）（3）即可；
（5）可設(shè)$\frac{AM}{AB}=b$，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比例關(guān)系可求出平行四邊形MNPQ的鄰邊長，從而求得周長，并可得出周長為定值．

解答 解：（1）∵BD∥平面MNPQ，BD?平面ABD，平面ABD∩平面MNPQ=MQ；
∴BD∥MQ；
同理，BD∥NP，AC∥MN，AC∥PQ；
∴MQ∥NP，MN∥PQ；
∴四邊形MNPQ為平行四邊形；
（2）能截得菱形，要截得菱形，則M，N，P，Q分別是棱AB，BC，CD，DA的中點；
（3）當(dāng)AC⊥BD時，這兩異面直線所成的角為90°，∴∠NMQ=90°，四邊形MNPQ為矩形；
（4）當(dāng)M，N，P，Q分別為棱AB，BC，CD，DA中點，且AC⊥BD時，截得的為正方形；
（5）證明：若$\frac{AM}{AB}=b$，則，MQ=ab，MN=（1-b）a；
∴?MNPQ的周長為2[（ab+（1-b）a]=2a；
∴即?MNPQ的周長為定值．

點評 考查線面平行的性質(zhì)定理，三角形的對應(yīng)邊的比例關(guān)系，菱形的定義，以及矩形、正方形的定義．