Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-3x+4+2lnx（a＞0）．
（Ⅰ） 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）在上的最大值；
（Ⅱ） 若f（x）在其定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）將a的值代入f（x），求出導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值點(diǎn)，求出極大值及端點(diǎn)值f（3），選出最大值．
（II）先求出定義域，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在（0，+∞）上恒成立，由于對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)，令判別式小于等于0，求出a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，
，
即f（x）在區(qū)間和（2，3]上單調(diào)遞增；在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減．
∴，
所以函數(shù)f（x）在上的最大值為．
（Ⅱ），
因?yàn)閒（x）在其定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f'（x）≥0恒成立，
得2ax²-3x+2≥0恒成立，
因?yàn)閍＞0，x=＞0，
所以△=9-16a≤0，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的最值時(shí)，一般通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再求出端點(diǎn)值，選出最值；解決函數(shù)的單調(diào)性已知求參數(shù)范圍的題目，一般令導(dǎo)函數(shù)大于等于0或小于等于0在單調(diào)區(qū)間上恒成立．